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文章关键词:manbetx官网手机版,正规基

  有限域上的k-型高斯正规基及其对偶基。有限域上的 k-型高斯正规基及其对偶基 李 俊, 黄 琴, 李 波, 廖群英* 【摘 要】摘要:正规基在有限域的许多应用领域中有广泛应用:编码理论、密 码学、信号传送等.Z.X.Wan 等(Finit

  有限域上的 k-型高斯正规基及其对偶基 李 俊, 黄 琴, 李 波, 廖群英* 【摘 要】摘要:正规基在有限域的许多应用领域中有广泛应用:编码理论、密 码学、信号传送等.Z.X.Wan 等(Finite Fields and Their Applications,2007, 13(4):411-417.)给出了 Fqn 在 Fq 上的Ⅰ型最优正规基的对偶基的复杂度为: 3n-3(q 为偶数)或 3n-2(q 为奇数).这是一类类似于 k-型高斯正规基的低复 杂 度 正 规 基 . 最 近 , 廖 群 英 等 ( 四 川 大 学 学 报 : 自 然 科 学 版 , 2010 , 47(6) : 1221-1224.)给出了 2-型高斯正规基的对偶基及其复杂度.在此基础上,给出 了一般的 k-型高斯正规基 N 的对偶基以及当 n≥k≥1 时,N 的复杂度的一个 上界.进而证明了当 k=3 时,此上界可达到,并由此给出了所有(弱)自对偶的 k -型高斯正规基. 【期刊名称】四川师范大学学报(自然科学版) 【年(卷),期】2011(034)003 【总页数】8 【关键词】有限域;高斯正规基;对偶基;复杂度 1 引言和主要结果 设 q 为素数 p 的方幂,n 是正整数,Fqn 是有限域 Fq 的 n 次扩张(n≥2).若 N={α,αq,…,αqn-1}为 Fqn 在 Fq 上的一组正规基,则称 α 为 Fqn 在 Fq 上的一个正规元.令 则(ti,j)n×n 中非零元的个数称为 N 的复杂度,记为 CN.R.Mullin 等[1]证 明了 CN≥2n-1.当 CN=2n-1 时,称 N 为最优正规基.众所周知,正规基(特 别是最优正规基)在编码理论、密码体制等领域有着广泛的应用[2].已有许多 文献研究了有限域的正规基和最优正规基[3-11].R.Mullin 等[1]给出了 Ⅰ型和Ⅱ型最优正规基的构造定理;1990 年,A.Wassermann[12]把最优正 规基推广到 k-型高斯正规基. 定理 A k-型高斯正规基的构造定理[12] 设 q 为素数 p 的方幂,k 和 n 是正整数,满足 kn+1 为素数且(kn+1,p)=1.假 定 γ∈Fqkn 是(kn+1)次本原单位根,s 是 q 模(kn+1)的次数.若(kn/s,n) =1, l 是 Zkn+1 中 k 次本原单位根,则 生成 Fqn 在 Fq 上的一组正规基 N,且其复杂度满足 称 N 为 Fqn 在 Fq 上的 k-型高斯正规基. 注 1 设 N 为 Fqn 在 Fq 上的 k-型高斯正规基.当 k=1 时,manbetx手机版登录N 为Ⅰ型最优正规 基.当 q=k=2 时,N 为Ⅱ型最优正规基. 在众多基中,对偶基也是一个很重要的概念.对于 Fqn 在 Fq 上的任意两组基: A={αii=0,1,…,n-1},以及 B={βii=0,1,…,n-1}.如果 则称 B 为 A 的对偶基,这里是 γ∈Fqn 在 Fq 上的迹映射.I.Blake 等[13]证明 了有限域上正规基的存在性、对偶基的存在唯一性及正规基的对偶基仍为正规 基等.另外,当 B=A 时,称 A 为自对偶基.最近,廖群英等[14]把有限域上自 对偶基的概念推广为弱自对偶基. 定义 1[14] 设 q 为素数 p 的幂,n 为正整数,Fqn 为有限域 Fq 的 n 次扩张. 若 B={βi=βqii=0,1,…,n-1}为 Fqn 在 Fq 上正规基 N={αi=αqi i=0, 1,…,n-1}的对偶基.如果存在,以及某个 r(0≤r≤n-1)使得 β=cαr,则称 N 为弱自对偶正规基.特别地,当 c=1 且 r=0 时,N 为自对偶正规基. 最近,廖群英等[15]得到了 2-型高斯正规基的对偶基,并给出这类高斯正 规基及其对偶基的复杂度.在此基础上,本文对 k-型高斯正规基及其对偶基进 行了研究,得到了以下主要结果. 定理 1 设 n≥k,N={αi=αqii=0,1,…,n-1}为 Fqn 在 Fq 上的 k-型高斯 正规基,CN 为 N 的复杂度,则: 1)当 k 为偶数时, 2)当 k 为奇数时, 推论 1 设 N={αi=αqii=0,1,…,manbetx手机版登录n-1}为 Fqn 在 Fq 上的 3-型高斯正规基, CN 为 N 的复杂度.令 则 CN=l(n)=g(n). 推论 2 设 N={αi=αqii=0,1,…,n-1}为 Fqn 在 Fq 上的 4-型高斯正规基, CN 为 N 的复杂度.令 则 CN=h(n)≤f(n),即定理 1 中的复杂度的上界达不到. 定理 2 设 N={αi=αqii=0,1,…,n-1}为 Fqn 在 Fq 上的 k-型高斯正规基, B={βi=βqii =0,1,…,n-1}为 N 的对偶基,则 其中,p 为 Fq 的特征为(kn+1)在乘法群中的逆元. 由定义 1 和定理 2,容易得到以下推论: 推论 3 假设条件同定理 2,则: 1)N 是自对偶正规基? 2)N 是弱自对偶正规基?k≡0(mod p)且 k≡1(mod 2). 2 主要结果的证明 为证明定理及其推论,需要以下引理和命题. 引理 1[11] 设 q 为素数 p 的方幂,k 和 n 是使得 kn+1 为素数的正整数.记 s 为 q 模(kn+1)的阶.若(kn/s,n)=1,l∈Zkn+1 为 k 次本原单位根,则任意非 零元 ?∈Zkn+1 都可唯一表示成如下形式 引理 2[13] 设 q 为素数 p 的方幂,Fqn 是有限域 Fq 的 n 次扩域,N={α, αq,…,αqn-1}是 Fqn 在 Fq 上的正规基,a,b∈Fq.则 a+bα 生成 Fqn 在 Fq 上一组正规基当且仅当 na+bTr(α)≠0. 引理 3[15] 设 α 为 Fqn 在 Fq 上 k-型高斯正规基 N={α,αq,…,αqn- 1}的一个生成元,τ=Tr(α),则 这里是 α∈F

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